Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang
ahli matematika dan ilmuwan dari Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki
“pangeran ahli matematika” disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah satu dari
tiga ahli matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah
matematika, tidak pernah ada seorang anak yang begitu cepat berkembang,
sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri menyelesaikan dasar aritmetika
sebelum ia dapat berbicara.
Pada
suatu hari, saat ia bahkan belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis
orang tuanya mulai menyadari kejeniusan Gauss. Ketika itu ayahnya
tengah menyiapkan gaji mingguan untuk para buruh bawahannya, dan Gauss
memperhatikan dengan diam-diam dari pojok ruangan. Setelah perhitungan yang
panjang dan membosankan. Gauss tiba-tiba memberi tahu ayahnya bahwa terdapat
kesalahan dalam perhitungannya dan memberikan jawaban yang benar, yang
diperoleh hanya dengan memikirkannya (tanpa menulisnya). Yang mengherankan
orang tuanya adalah setelah diperiksa ternyata perhitungannya Gauss benar.
Dalam desertasi doktoralnya Gauss
memberikan bukti lengkap pertama teori-teori dasar aljabar yang menyatakan
bahwa setiap persamaan polynomial memiliki solusi sebanyak pangkatnya. Pada
usia 19 tahun ia menyelesaikan masalah yang membingungkan Euclid, menggambarkan
polygon 17 sisi di dalam lingkaran dengan menggunakan jangka dan kompas, dan
pada tahun 1801, pada usia yang ke-24 tahun, ia mempublikasikan karya
terbesarnya, Disquisitiones Arithmeticae”, yang dipandang
banyak orang sebagai salah satu prestasi paling berlian dalam matematika.
Dalam
makalah itu Gauss melakukan sistematisasi studi dari teori bilangan
(sifat-sifat bilangan bulat atau integer) dan merumuskan konse dasar dari hal
tersebut.
Gauss adalah orang
yang sangat religious dan aristoratik dalam kesajaannya. Ia dengan mudah
menguasai bahasa-bahasa asing, sangat senang membaca dan meminati bidang
minarologi dan botani sebagai hobi.
Ia tidak suka mengajar dan biasanya
bersikap dingin tidak mendukung terhadapahli matematika yang lainnya,
kemungkinan ini karena ia mengantisipasi kerja mereka. Dikatakan bahwa jika
saja Gauss mempublikasikan semua penemuaannya, maka matematika saat ini akan
lebih maju 50 tahun. Tak diragukan lagi bahwa ia adalah ahli matematika
terbesar dalam era modern.
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan
adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita
membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks.
Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua
elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien
untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss
jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama. Motede tersebut dinamai
Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm
Jordan.
Penskalaan
Kemungkinan solusi SPL
Selain
dengan pivoting sebagian, penskalaan (scaling) juga dapat digunakan
untuk mengurangi galat pembulatan pada SPL yang mempunyai perbedaan koefisien
yang mencolok. Situasi demikian sering ditemui dalam praktek rekayasa yang
menggunakan ukuran satuan yang berbeda-beda dalam menentukan persamaan
simultan. Misalnya pada persoalan rangkaian listrik, tegangan listrik dapat
dinyatakan dalam satuan yang berkisar dari microvolt sampai kilovolt.
Pemakaian satuan yang berbeda-beda dapat
menuju ke koefisien yang besarnya sangat berlainan. Ini terdampak pada galat
pembulatan, dank arena itu mempengaruhi pivoting. Dengan penskalaan berarti
kita menormalkan persamaan. Cara menskala adalah membagi tiap baris persamaan
dengan nilai mutlak koefisien terbesar di ruang kirinya. Akibat penskalaan,
koefisien maksimum dalam tiap baris adalah 1. Cara menskala seperti ini
dinamakan dengan menormalkan SPL.
Contoh:
Selesaikan system persamaan
lanjut berikut sampai 3 angka bena dengna menggunakan metode eliminasi Gauss
yang menerapkan perskalaan dan tanpa perskalaan:
Kemungkinan
solusi SPL
Tidak
semua SPL mempunyai solusi. Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi pada SPL:
a) Mempunyai
solusi yang unik
b) Mempunyai
banyak solusi, atau
c) Tidak
ada solusi sama sekali
Untuk SPL dengan tiga buah
persamaan atau lebih (dengan tiga peubah atau lebih)tidak terdapat tafsiran
geometrinya (tidak mungkin dibuat ilustrasi grafiknya) seperti pada SPL dengan
dua buah persamaan. Namun, kita masih dapat memeriksa masing-masing kemungkinan
solusi itu berdasarkan pada bentuk matriks akhirnya. Agar lebih jelas, tinjau
contoh pada SPL yang disusun oleh tiga persamaan.
Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam aljabar linear, eliminasi
Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi
Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal
utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks
diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya
nol).
Dalam bentuk matriks, eliminasi
Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut.
Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi
Gauss-Jordan naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses
eliminasinya.
Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan
disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan,
sebagai berikut:
1.
Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol
pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).
2.
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka
baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari
matriks.
3.
Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol,
maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan
dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
4.
Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.
Kalkulator Eliminasi Gauss-Jordan
- Masukkan dimensi (ukuran) dari matriks (Baris x Kolom).
- Ukuran maksimum yang dapat diterima kalkulator ini adalah
9x9.
- Nilai hasil dari setiap operasi akan dibulatkan ke 3 angka di
belakang koma.
- Matriks Identitas hanya akan ditambahkan secara otomatis jika
dimensi (ukuran)matriks yang terbentuk kurang atau sama dengan 9x9
Aplikasi untuk mencari Invers
Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode
tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi
Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas
dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:
Eliminasi Gauss-Jordan
Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk
eselon baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon
baris tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi
baris yang dilakukan.
Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan
disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan,
sebagai berikut:
1.Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol
pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).
2.Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris
ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
3.Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka
1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari
1 utama pada baris yang lebih tinggi.
4.Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.
Misal kita punya matriks berikut:
baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya.
Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas,
tambahkan kelipatan
yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk
memperoleh nol di atas 1 utama.
5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama
Langkah 1 – 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada
langkah 6 dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.
Dari langkah tersebut kita peroleh persamaan
x1 + 2×2 +3 x4 = 2
x3 = 1
x5=2
Dari persamaan tersebut kita dapat memisalkan nilai x1=s dan x2 = t
untuk memperoleh nilai x1 = 2s-3t (s dan t adalah parameter dari SPL tersebut).
Referensi
Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. “Schaum’s Outlines: Linear
Algebra“. Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.
Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd
edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.
0 comments:
Post a Comment